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    江西法检行测备考指导:数学运算之剩余问题

    发布时间:2015-06-01  信息来源: 知满天教育网  点击数:次  我要评论()

      在招警行测考试中整除的问题经常出现,而在整除的基础上又衍生出不能整除的问题,即有余数的问题也不断的出现,下面知满天招警考试网将介绍特殊的剩余问题,即余同问题、和同问题以及差同问题。

      一、剩余定理的特殊情况

      (1)余同(余数相同):除数的最小公倍数+余数

      例题1:三位数的自然数P满足:除以4余2,除以5余2,除以6余2,则符合条件的自然数P有多少个?

      A.120 B.122 C.121 D.123

      【答案】B。

      【解析】一个数除以4、5、6均余2,余数相同,属于余同,因此这个数满足通项公式N=60n+2 ,(n=0,1,2,3……),当n=2时,N=122,选择B项。

      (2)和同(除数和余数的和相同):除数的最小公倍数+和(除数加余数的和)

      例题2:三位数的自然数P满足:除以5余3,除以6余2,除以7余1,则符合条件的自然数P有多少个?

      A.3 B.2 C.4 D.5

      【答案】D。

      【解析】此题除数与余数的和相加均为8,则该自然数应满足N=210n+8(n=0,1,2……),因此在0至999以内满足题干条件的自然数有8,218,428,638,848五个数,因此选D。

      (3)差同(除数减余数之差相同):除数的最小公倍数-差(除数减余数的和)

      例题3:某校三年级同学,每5人一排多1人,每6人一排多2人,每7人一排3多人,问这个年级至少有多少人?

      A.206 B.202 C.237 D.302

      【答案】A。

      【解析】

      方法一:代入排除法(略)。

      方法二:通过观察发现除数与余数的差均为4,所以此数满足:N=210n-4(n=1,2,3……),当n=1时,算得次数为206,因此选A。

      二、剩余定理的一般情况

      例题4:一个自然数P同时满足除以3余1,除以4余3,除以7余4,求满足这样条件的三位数共有多少个?

      A.10 B.11 C.12 D.13

      【答案】B。

      【解析】先取其中两个条件,除以3余1,除以4余3,即P=4n+3=3a+1,等式两边同时除以3,等式左边的余数为n,等式右边的余数为1,即n=1,代入上式可知满足上述两个条件的最小的数为7,则同时满足上述两条件的数的通项公式为P=12n+7……①,再将①式所得的条件与题干中除以7余4的条件组合成新的条件。即满足题干中三个条件的数P=12n+7=7b+4,等式两边同时除以未知数较小的系数7,则左边余数为5n,等式右边的余数是4,也可认为余数是25,即5n=25,求解得n=5,代入到①式中,即同时满足题干中三个条件的最小的自然数P=67,则满足题干三个条件的数的通项公式为P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11,即符合题意的数共有11-1+1=11个数。

      例题5:一个自然数P同时满足除以11余5,除以7余1,除以5余2,求满足这样条件的三位数共有多少个?

      A.9 B.10 C.11 D.12

      【答案】D。

      【解析】通过观察会发现前两个条件属于差同,所以满足前两个条件的数的通项公式P=77n-6(n=0,1,2,3……),即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13,即符合题意的数共有13-2+1=12个数,因此选D。

      从上面的例题中我们可以总结出以下关系:

      如果一个数Q除以m余数是a,除以n余数是a,除以t余数是a,那么这个数Q可以表示为:

      Q=a+(m、n、t的最小公倍数) N,N为整数,a是相同的余数。

      如果一个数Q除以m余数是a-m,除以n余数是a-n,除以t余数是a-t,那么这个数Q可以表示为:

      Q=a+(m、n、t的最小公倍数) N,N为整数,a是除数同余数的加和。

      如果一个数Q除以m余数是m-a,除以n余数是n-a,除以t余数是t-a,那么这个数Q可以表示为:

      Q=(m、n、t的最小公倍数)-a N-a,N为整数,a为相同的除数和余数的差。

      不管题目怎么变化,只要记住这3个关系,在考试中的剩余问题都是可以迎刃而解的。

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